Warrant/options-värdering i teorin (2)

I tidigare inlägg 6/12 har jag beskrivit hur man värderar en option med utgångspunkt från hur ett lotteri generellt kan värderas, dvs. alla tänkbara optionsutfall multipliceras med respektive sannolikhet för att detta utfall kommer att realiseras på slutdagen (som beskrivs av sannolikhetsfördelningen som i sin tur är bestämd av volatiliteten) och därefter summeras. Denna summa utgör optionens teoretiska värde och sammanfaller med Black & Scholes-värdet. Vi har alltså en förklaring till vad Black & Scholes-formeln egentligen är för något.

Denna värdering är sk. objektiv. Den påverkas inte av våra privata värderingar, prognoser eller portföljinnehav utan är en värdering som gäller för alla och bygger på allmänt kända och mätbara komponenter såsom historisk volatilitet, aktuellt pris för underliggande aktie/index och riskfria räntan.

Värderingen bygger vidare på att vi behåller optionen till slutdagen och beräknar de olika utfallen på slutdagen till deras sk. realvärden, dvs. skillnaden mellan aktuellt aktiepris och lösenpris om optionen är in-the-money eller 0 om den är out-of-the-money. Sannolikheten för de olika utfallen på slutdagen bestäms av volatiliteten justerad för tidsperioden fram till förfall. I Black & Scholes-formeln använder man den årliga volatiliteten varefter formeln automatiskt justerar den till aktuell tidsperiod. Detta är ett uttryck för den sk. volatilitetskonen.

Volatilitetskonen utgör ett sätt att betrakta volatilitet. Ju längre tid man ämnar inneha en position, desto större blir sannolikheten att positionen utsätts för kurssvängningar. T.ex är det mer sannolikt att man kommer att uppleva en 10 % kursuppgång om man innehar en position under 30 dagar än under 2 dagar. Och sannolikheten är ytterligare större på 90 dagars sikt än 30 dagar. Sannolikheten vidgar sig alltså ju längre tidshorisont man har. Det är detta som beskrivs som en "kon" över tiden. Se bilden.

Den årliga volatiliteten som används i Black & Scholes-formeln beskriver volatilitetskonen på ett års sikt och beskriver därmed alltså sannolikheten för olika kursförändringar under denna 365-dagars period. Vi kan enkelt göra om den till en volatilitet som gäller för en annan tidsperiod genom sambandet Vå = Vt x R eller
Vt = Vå/R, där R är roten ur 365/t, Vå är årlig volatilitet och Vt är volatilitet för den aktuella tidsperioden. Efter omvandlingen har vi ett uttryck för sannolikheten för kursförändringar under just denna tidsperiod, ett uttryck som vi kan använda i många andra beräkningar.

Ovanstående är kanske inte verkar så matnyttigt just nu, men begreppet volatilitetskon och detta synsätt är centralt när jag i fortsättningen kommer in på subjektiv värdering, dvs. vad en option är värd just för dig, i din situation och mot bakgrund av dina redan innehavda positioner. Desutom öppnar denna ansats för värdering av inte bara optioner utan också spot, terminer och framför allt hela portföljer av blandade instrument. Till sist är detta synsätt grundläggande för riskvärdering/hantering som vi kommer till längre fram.

Mvh/Lindemann